KLS 予想が証明されたと、2026 年 10 月 21 日に Microsoft Research のブログが正式に発表した。1995 年に提起され、31 年間未解決だった高次元幾何学の難問に、Microsoft Research の Xinzhi Zhang と共同研究者 Zhao Song が完全な証明を与えた。問いは単純に聞こえる。高次元の凸体を体積が等しくなるよう二分するとき、最適な平面による切断は、任意の形状による最適な切断より大幅に劣ることがあるか。答えは「ない」。差は次元によって増えない普遍定数以内に収まる。
平面の切断の背後にあるのは、サンプリングの速さ
KLS 予想の重みは図形そのものではなく、基礎アルゴリズムの一群の効率を左右する点にある。統計や最適化の多くの手法は、高次元分布の中をランダムウォークしながら標本を取る。その広がりの速さは、分布の最も狭いボトルネックの幅で決まる。予想が成り立てば、そうしたボトルネックは平面の切断に支配され、次元が上がっても際限なく悪化しない。2026 年 7 月時点の最良の結果では、その bound は次元とともに極めてゆっくり増え続け、あと一歩が届かなかった。「KLS が成り立てば成り立つ」としか書けなかった結果の数々が、仮定なしに使えるようになる。
鍵となった判定法は、人と AI が何度もふるいにかけて得た
証明は、問題をモデルに一度投げて終わりではない。2 人の研究者は人間が主導するエージェント型プロセスを使い、AI に 100 を超える候補アプローチを探索させ、高階テンソルを含む長大な計算を担わせた。研究者は中間結果を吟味し、見込みのない方向を切り捨て、最も有望な部分を次のラウンドへ渡した。ふるい出された新しい判定法は、まず次元依存性を反復対数まで圧縮した。増え方は異常なほど遅いが、それでも増える。そこで再帰的な議論全体をもう一度適用し、各段階で入る小さな誤差の合計が有界であることを示して、次元依存性を完全に消した。10 月 1 日版にはまだ最後の一手が欠けており、10 月 4 日の改訂版で証明が完成した。
同じ日、別のトップチームが同じ判定法に基づく独立した証明を公表し、その後 Lean 4 による形式化検証も続いた。これは数学界では単独の論文より硬い確認である。対照実験も示唆的だ。ほぼ同じ総トークン予算で複数の最前線モデルに誘導なしで繰り返し挑ませたが、どれも突破できなかった。突破した道筋では、AI が担ったのは探索と計算の力仕事であり、方向を決め、判定法を見抜き、議論を組み立てたのは人間だった。ハードな研究における AI の実際の分担を、これほど正直に示した例はあまりない。
