Die KLS-Vermutung ist bewiesen – das gab der Blog von Microsoft Research am 21. Oktober 2026 offiziell bekannt: Xinzhi Zhang von Microsoft Research und sein Mitarbeiter Zhao Song haben einen vollständigen Beweis für das 1995 gestellte, 31 Jahre offene Problem der hochdimensionalen Geometrie vorgelegt. Die Frage klingt einfach: Teilt man einen hochdimensionalen konvexen Körper in zwei gleich große Volumina, kann der beste flache Schnitt durch eine Hyperebene viel schlechter sein als der beste Schnitt beliebiger Form? Die Antwort lautet Nein. Der Abstand beträgt höchstens eine universelle Konstante, die nicht mit der Dimension wächst.
Hinter dem flachen Schnitt steht die Geschwindigkeit des Samplings
Das Gewicht der KLS-Vermutung liegt nicht in der Figur selbst, sondern darin, dass sie über die Effizienz einer ganzen Klasse grundlegender Algorithmen entscheidet. Viele Verfahren in Statistik und Optimierung ziehen Stichproben, indem sie Zufallswege durch eine hochdimensionale Verteilung laufen; wie schnell sich ein solcher Weg ausbreitet, hängt von der Breite des engsten Engpasses der Verteilung ab. Mit dem Beweis werden diese Engpässe von flachen Schnitten kontrolliert und können mit steigender Dimension nicht mehr unbegrenzt schlechter werden. Das beste bisherige Ergebnis vom Juli 2026 ließ die Schranke noch extrem langsam mit der Dimension wachsen – es fehlte immer der letzte Schritt. Eine Reihe von Resultaten, die bisher nur unter der Annahme „falls KLS gilt“ formuliert werden konnten, kommt nun ohne diese Annahme aus.
Das entscheidende Kriterium haben Mensch und KI gemeinsam herausgesiebt
Der Beweis entstand nicht dadurch, dass man das Problem einmalig einem Modell übergab. Die beiden Forscher nutzten einen vom Menschen gesteuerten agentischen Prozess: Die KI erkundete mehr als hundert Kandidatenansätze und führte lange Rechnungen mit Tensoren höherer Ordnung aus, während die Forscher Zwischenergebnisse prüften, aussichtslose Richtungen beschnitten und die vielversprechendsten Teile in die nächste Runde gaben. Das so herausgesiebte neue Kriterium drückte die Dimensionsabhängigkeit zunächst auf einen iterierten Logarithmus – er wächst außerordentlich langsam, aber er wächst. Erst die erneute Anwendung des gesamten rekursiven Arguments, zusammen mit dem Nachweis, dass die Summe der kleinen Fehler jeder Stufe beschränkt bleibt, beseitigte die Dimensionsabhängigkeit vollständig. Der Version vom 1. Oktober fehlte dieser letzte Schritt noch; die Überarbeitung vom 4. Oktober schloss den Beweis.
Am selben Tag veröffentlichte ein weiteres Spitzenteam einen unabhängigen Beweis auf Grundlage desselben Kriteriums, danach folgte eine Formalisierung in Lean 4 – eine Bestätigungsform, die in der Mathematik höher wiegt als jede Einzelarbeit. Aufschlussreich ist auch das Kontrollexperiment: Mit ungefähr demselben Gesamtbudget an Tokens ließen die Forscher mehrere Frontier-Modelle ungeführt wiederholt an dem Problem arbeiten, und keines kam durch. Auf dem Weg, der funktionierte, lieferte die KI Suche und Rechenkraft; Richtung wählen, das Kriterium erkennen und das Argument zusammensetzen blieb Menschenarbeit – vermutlich das ehrlichste bisherige Bild davon, wie KI in harter Forschung tatsächlich hilft.
